Ensembles finis Exemples

$x^{2} - x y + 3 y^{2} = 5$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$x^{2} - x \cdot 0 + 3 {(0)}^{2} = 5$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} - x \cdot 0 + 3 {(0)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Multipliez $- x \cdot 0$ .

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Étape 1.2.1.1.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$x^{2} + 0 x + 3 {(0)}^{2} = 5$

Étape 1.2.1.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$x^{2} + 0 + 3 {(0)}^{2} = 5$

Étape 1.2.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 = 5$

Étape 1.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$x^{2} + 0 + 0 = 5$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + 0 = 5$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} = 5$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 1.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 1.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 1.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

${(0)}^{2} + 0 \cdot y + 3 y^{2} = 5$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} + 0 \cdot y + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 \cdot y + 3 y^{2} = 5$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$0 + 0 + 3 y^{2} = 5$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + 3 y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 3 y^{2} = 5$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $3 y^{2}$ .

$3 y^{2} = 5$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} = 5$ par $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{5}{3}$

Étape 2.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Étape 2.2.4.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 2.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 2.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 2.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{\sqrt{15}}{3}), (0, - \frac{\sqrt{15}}{3})$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, \frac{\sqrt{15}}{3}), (0, - \frac{\sqrt{15}}{3})$

Étape 4